故事3

最后一笔财

和几个做投资的朋友吃饭。有位兄弟说起应该像当年犹太人那样，备一些应急的珠宝。一是如上世纪初地球混乱时能当买路钱，二是逃到生地后也需要重振旗鼓的本钱。

我提及以上三个故事，重点不在应急，而是想说：

任何时候，确保自己还有下注的能力，是一种极其重要的生存智慧。

这三个故事都揭示了一个核心的生存和成功原则：

无论你面对何种情况，都要确保自己保有下一步行动的能力，无论是在商业、投资还是生活中。

故事一中的人如果意识到自己的钢笔中的墨水，就可能能够继续生存下去，等待救援。

故事二中的富豪，在他的生意倒塌后，由于他之前在香港的一处写字楼，他有机会重新开始，再次积累财富。

故事三中的犹太人，他们储备了珠宝等贵重物品，使他们在最糟糕的情况下仍有生存的可能。

所有这些故事都强调了保持“下注”的能力的重要性：

1、在投资中，这意味着你要保证自己有足够的资金和资源来应对市场的波动和不确定性；

2、在生活中，这可能意味着你需要保持自己的身心健康，保持学习和进步，以便在面对困难和挑战时，你有能力和信心去应对。

“赌神”的第一公式

孤独大脑：说起下注，今天我们来聊凯利公式。

据说这是赌神的“第一公式”……

ChatGPT：凯利公式是一个用来决定最优投注比例的公式，它帮助投资者和赌徒最大化长期的收益。

这个公式是由凯利在1956年提出的，他在贝尔实验室工作，试图找到一种有效的通信线路噪声管理策略。

然后他发现，他的理论可以应用于赌博和投资领域，帮助人们确定每次下注的最佳金额。

凯利公式如下：

f* = (bp – q) / b

这里：

• f* 是应该下注的资金的比例；
• b 是每次赌注的净收益率（不包括本金的赔率）；
• p 是获胜的概率；
• q 是失去赌注的概率，也就是（1-p）。

这个公式基于一个假设，那就是你可以准确估计获胜的概率和每次赌注的潜在收益。如果你的预测是准确的，那么凯利公式可以告诉你应该把多少钱投入到每次下注中，以最大化长期的收益。

然而，值得注意的是，凯利公式的应用在实际情况中可能会非常复杂，因为：

1、我们很难精确地预测获胜的概率和每次赌注的潜在收益。

2、凯利公式可能会导致比较大的投注比例，如果你不能接受这种风险，那么你可能需要把下注比例降低一些。

孤独大脑：讲起凯利公式，我们必须要提一下香农和索普。

当年索普发现了在赌场玩儿二十一点战胜庄家的办法，但是，即使胜率占优，期望值为正，因为赌场的本金相对赌徒几乎是无限多，所以每次如何下注依然是个难题。

索普向贝尔实验室最聪明的香农求助，香农于是推荐了第二聪明的凯利提出的公式。

ChatGPT：这个故事很有趣。

索普是一个极其聪明的数学家，他是最早系统性地研究二十一点游戏策略的人。他发现了一种可以在长期内战胜赌场的策略，这就是现在被广泛使用的“基本策略”和“计数系统”。

然而，索普在确定每一局应下注多少时遇到了问题。他明白，即使他有优势，但如果他每次下注过多，那么他仍然有可能在短期内输掉所有的钱。他需要一种方法来平衡胜率和下注金额。

于是，他找到了香农求助。香农是信息论的创始人，他认识到索普的问题实际上是一个关于信息和噪声的问题，于是推荐了凯利公式给他。

使用凯利公式，索普可以确定每次下注的最佳比例，使他的长期收益最大化。

凯利公式基于的思想是，如果你的策略具有正的期望收益，那么你应该适度地增加投注，但又不能过度，以免风险太大。

这个故事是一个完美的例子，展示了数学、信息论和决策理论是如何在现实中发挥作用的。

凯利公式的推导

孤独大脑：请你从数学角度，讲一下凯利公式的原理、推导。

ChatGPT：凯利公式的基本思想是最大化长期投资的复利增长。它是在特定假设下推导出来的，主要用于确定在有正期望值的投资或下注中应投入的比例。

先说原理。

凯利公式的基本思想源自信息理论和概率理论。

它的目标是找到一个投资策略，使得资本的长期复利增长率最大。

这通常涉及到在风险和收益之间进行权衡。

以下是公式推导。在一个简单的赌博游戏中，假设：

• 每次赌博赢得的概率为p；
• 输的概率为q=1-p；
• 每次赢得的收益率为b（净赔率）；
• 每次输的收益率为-1（输掉的是你投入的资本）。

如果你决定每次赌博投入总资本的f比例，那么每次赌博后你的资本变为：

• 赢：(1+f*b)；
• 输：(1-f)。

假设每次赌博是独立的，那么在n次赌博后，你的资本Cn为：

Cn = C0 * (1+f*b)^X * (1-f)^Y

其中，X是你赢的次数，Y是你输的次数。

在长期来看（即n趋于无穷大），资本的期望对数增长率（即对数资本的期望增长率）是最重要的指标。在这个模型中，这个增长率g为：

g=E[ln(Cn/C0)]/n=pln(1+fb)+q*ln(1-f)

你的目标是找到一个f，使得g最大。这可以通过求解上面这个式子的最大值来实现。

使用微积分的方法，你会找到：

f* = (bp – q) / b

其中f*是使得g最大的f值。

不确定情况下的复利

孤独大脑：在某种意义上，凯利公式是用来计算不确定情况下的复利回报的。

在确定性情况下，复利的计算很简单；但在现实世界里，投资者哪怕胜率占优，也是有输有赢的。如上计算，全面考虑了亏和赚对整体收益的影响。

ChatGPT：是的，你的理解是正确的。

凯利公式就是在处理这样的问题：在一个存在风险的环境中，你应该如何分配你的投资，以最大化你的长期复利回报。

在确定性的环境中，复利的计算是简单直接的。如果你知道你的投资回报率，你可以简单地将这个回报率应用于你的投资本金，然后持续复利，得到你的最终回报。

然而，在现实世界中，投资者面临的通常是一种风险环境，即使你的策略胜率占优，你也不能保证每一次投资都会赢。

这就是凯利公式的应用场景。

凯利公式告诉你在每一次投资中应该投入多少本金，这个数值是根据你的胜率和赔率计算出来的，以期最大化你的长期复利回报。

当你遵循凯利公式进行投资时，即使在一段时间内有输的投资，只要你的策略在长期中胜率占优，你的投资本金将会按照复利增长。

然而，需要注意的是，凯利公式并不能消除风险，它只是提供了一个理论上的最佳投资比例，以期望在长期中获得最大的复利回报。

在实际应用中，投资者可能需要考虑到其他的风险因素，比如市场的波动性，投资者的风险承受能力等，所以可能不会完全按照凯利公式的建议进行投资。

孤独大脑：确切说，凯利公式只适用于期望值为正的投资。

也就是说，这个公式只能帮助一个好的投资，而无法挽救一个差的投资。

确切说，凯利公式无法帮助一个赌徒。

ChatGPT：是的，凯利公式是在投资或下注的期望值为正的情况下才能提供最优策略的。

期望值是每次投资可能的收益与各自发生的概率的乘积之和。

如果一个投资的期望值为正，那就意味着在长期内，这个投资平均每次能带来正的收益。

反过来，如果一个投资的期望值为负，那就意味着在长期内，这个投资平均每次会带来损失。

凯利公式的目标是找到一个策略，使得你的资本的长期复利增长率最大。

如果一个投资的期望值为负，那么无论你投入多少资本，长期来看你的资本都会减少。

在这种情况下，凯利公式没有意义，因为没有任何策略能增加你的资本。

因此，凯利公式必须基于期望值为正的投资，否则，它无法提供有效的投资策略。

最后

回到最开始的三个故事，对于每个人而言，确保自己始终有下注的能力，有进一步行动的本钱，是非常重要的。

我们未必真要懂得凯利公式的计算，在现实中也很难有完美应用该公式的环境，但是其传递的理念值得铭记：聪明下注，永远给自己留一手牌。

此外，凯利公式计算的结果，是按照比例下注的。

所以，未必钱少的人就要去赌，要去搏一把。

因为要实现最终长期回报最大化，我们需要的是“最合适”的策略，而非“最拼命”的策略。

祝你好运。

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